$$$3 x^{2} e^{x}$$$의 적분

$$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{3 x^{2} e^{x} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} e^{x} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$에 적용하세요:

$$3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{x e^{x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$입니다:

$$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{e^{x}}}$$

따라서,

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}$$

간단히 하시오:

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$$$A