$$$2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)$$$의 적분

$$$\int 2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(- 23 x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(- 23 x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$2 {\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(- 23 x \right)} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=2 {\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{4} - \int{\frac{x^{3}}{4} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - 2 {\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{4} d x}}} = \frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} d x}}{4}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=3$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{2}$$

따라서,

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8}$$

간단히 하시오:

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \left(4 \ln{\left(- x \right)} - 1 + 4 \ln{\left(23 \right)}\right)}{8}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \left(4 \ln{\left(- x \right)} - 1 + 4 \ln{\left(23 \right)}\right)}{8}+C$$

$$$\int 2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)\, dx = \frac{x^{4} \left(4 \ln\left(- x\right) - 1 + 4 \ln\left(23\right)\right)}{8} + C$$$A