$$$2 \ln\left(2 x\right)$$$의 적분

$$$\int 2 \ln\left(2 x\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - {\color{red}{\left(2 x\right)}} + {\color{red}{\left(2 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \ln{\left(2 x \right)} - 2 x$$

간단히 하시오:

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)+C$$

$$$\int 2 \ln\left(2 x\right)\, dx = 2 x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(2\right)\right) + C$$$A