$$$6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$의 적분

$$$\int 6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=6$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$6 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=6 {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=6 {\color{red}{\left(- \int{\left(- 4 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$- 6 {\color{red}{\int{\left(- 4 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} = - 6 {\color{red}{\left(- 4 \int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$

적분 $$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$24 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}=24 {\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}=24 {\color{red}{\left(- \int{4 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$- 24 {\color{red}{\int{4 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} = - 24 {\color{red}{\left(4 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$

우리는 이미 보았던 적분에 도달했습니다.

따라서 적분에 관한 다음과 같은 간단한 등식을 얻었습니다:

$$6 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = - 96 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$

이를 풀면, 다음을 얻는다

$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}$$

따라서,

$$6 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}\right)}}$$

따라서,

$$\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}+C$$

$$$\int 6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17} + C$$$A