$$$\frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} \left(1 - x\right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x}\right)}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{x^{2}} d x} + \int{\frac{1}{x} d x} - \int{\frac{1}{x - 1} d x}\right)}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$2 \int{\frac{1}{x^{2}} d x} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = 2 \int{\frac{1}{x^{2}} d x} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}=2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}=2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}=2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} - \frac{2}{x} = 2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} - \frac{2}{x}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} - \frac{2}{x} = 2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}} - \frac{2}{x}$$

다음 $$$u=x - 1$$$을 기억하라:

$$2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \frac{2}{x} = 2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)} - \frac{2}{x}$$

따라서,

$$\int{\frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - \frac{2}{x}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x} = \frac{2 \left(x \left(\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\right) - 1\right)}{x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)} d x} = \frac{2 \left(x \left(\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\right) - 1\right)}{x}+C$$

$$$\int \frac{2}{x^{2} \left(1 - x\right)}\, dx = \frac{2 \left(x \left(\ln\left(\left|{x}\right|\right) - \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) - 1\right)}{x} + C$$$A