$$$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=2 \cosh{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(2 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \sinh{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}} = \frac{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}{16 \cosh^{4}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}{16 \cosh^{4}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}{8 \cosh^{4}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{8 \cosh^{4}{\left( u \right)}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{8 \cosh^{4}{\left( u \right)}} = \frac{\sinh{\left( u \right)}}{8 \cosh^{4}{\left( u \right)}}$$$

적분은 다음과 같이 됩니다

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{4 \cosh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh^{4}{\left(u \right)}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{4 \cosh^{4}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh^{4}{\left(u \right)}} d u}}{4}\right)}}$$

분자와 분모에 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)}$$$를 곱하고 $$$\frac{\sinh^{2}{\left( u \right)}}{\cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$를 $$$\tanh^{2}{\left( u \right)}$$$로 변환합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\tanh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{4}$$

$$$v=\tanh{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\tanh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\tanh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{v^{2} d v}}}}{4}$$

멱법칙($$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{v^{2} d v}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}}{4}$$

다음 $$$v=\tanh{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{v}}^{3}}{12} = \frac{{\color{red}{\tanh{\left(u \right)}}}^{3}}{12}$$

다음 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\tanh^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{12} = \frac{\tanh^{3}{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}} \right)}}{12}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}} d x} = \frac{2 \left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 x^{3}}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}} d x} = \frac{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}} d x} = \frac{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{4}}\, dx = \frac{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}} + C$$$A