$$$x$$$에 대한 $$$\frac{a}{\sin{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{a}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

이중각 공식 $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$를 사용하여 사인을 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$를 곱합니다.:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{a \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a}{u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=a$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$a {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = a {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$을 기억하라:

$$a \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = a \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x} = a \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x} = a \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{a}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = a \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A