$$$x$$$에 대한 $$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=\sin{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{1}{a^{2} \sqrt{- a^{2} \sin^{2}{\left( u \right)} + a^{2}} \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{a^{2} \sqrt{- a^{2} \sin^{2}{\left( u \right)} + a^{2}} \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{a^{2} \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)} \left|{a}\right|}=\frac{1}{a^{2} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{a^{2} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \sin^{2}{\left( u \right)} \left|{a}\right|} = \frac{1}{a^{2} \sin^{2}{\left( u \right)} \cos{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

적분은 다음과 같이 됩니다

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2} \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{a^{2}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2} \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}{a^{2}}}}$$

피적분함수를 코시컨트 함수로 다시 쓰시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{a^{2}} = \frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{a^{2}}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$의 적분은 $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{a^{2}} = \frac{{\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}}{a^{2}}$$

다음 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{u}} \right)}}{a^{2}} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}} \right)}}{a^{2}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} \left|{a}\right|}{a^{2} x}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a^{2} x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x} = - \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a^{2} x}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx = - \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a^{2} x} + C$$$A