$$$\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x}}{2 \sqrt{\pi}}\right)}}$$

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \sqrt{2} du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x}}}}{2 \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\sqrt{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{2} \int{e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}}$$

이 적분(오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\sqrt{\pi}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}}$$

다음 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)}} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}\, dx = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A