$$$\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 $$$\frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}}$$$를 곱하고 $$$\frac{\cosh^{2}{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)}}$$$를 $$$\frac{1}{\tanh^{2}{\left(x \right)}}$$$로 변환합니다:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{4}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

두 개의 쌍곡코사인을 구하고, 공식 $$$\cosh^{2}{\left(x \right)}=\frac{1}{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}$$$를 사용하여 나머지 쌍곡코사인을 쌍곡탄젠트로 나타내세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{4}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tanh{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tanh{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \operatorname{sech}^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\operatorname{sech}^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1 - u^{2}}{u^{2}} d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{1 - u^{2}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d u} + \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{1}{u^{2}} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\frac{1}{u^{2}} d u} - {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$- u + {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=- u + {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=- u + {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=- u + {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=- u + {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

다음 $$$u=\tanh{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{u}}^{-1} - {\color{red}{u}} = - {\color{red}{\tanh{\left(x \right)}}}^{-1} - {\color{red}{\tanh{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(- \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}\right) + C$$$A