$$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{3}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = 3 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

피적분함수를 코시컨트 함수로 다시 쓰시오:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = 3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$의 적분은 $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{3}$$$을 기억하라:

$$- 3 \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 3 \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$$$A