$$$n$$$에 대한 $$$\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}\, dn$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(n \right)}\, dn = c \int f{\left(n \right)}\, dn$$$을 $$$c=\frac{1}{p}$$$와 $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{1 - \frac{p}{n}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{1 - \frac{p}{n}} d n}}{p}}}$$

Simplify:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \frac{p}{n}} d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{n}{n - p} d n}}}}{p}$$

분수식을 다시 쓰고 분리하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{n}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{p}{n - p} + 1\right)d n}}}}{p}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{p}{n - p} + 1\right)d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d n} + \int{\frac{p}{n - p} d n}\right)}}}{p}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dn = c n$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{\int{\frac{p}{n - p} d n} + {\color{red}{\int{1 d n}}}}{p} = \frac{\int{\frac{p}{n - p} d n} + {\color{red}{n}}}{p}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(n \right)}\, dn = c \int f{\left(n \right)}\, dn$$$을 $$$c=p$$$와 $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{n - p}$$$에 적용하세요:

$$\frac{n + {\color{red}{\int{\frac{p}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{n + {\color{red}{p \int{\frac{1}{n - p} d n}}}}{p}$$

$$$u=n - p$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(n - p\right)^{\prime }dn = 1 dn$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dn = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{p}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{p} = \frac{n + p {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{p}$$

다음 $$$u=n - p$$$을 기억하라:

$$\frac{n + p \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{p} = \frac{n + p \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(n - p\right)}}}\right| \right)}}{p}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n + p \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}}{p}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n}{p} + \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n}{p} + \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}\, dn = \left(\frac{n}{p} + \ln\left(\left|{n - p}\right|\right)\right) + C$$$A