$$$\frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}}\, da$$$을(를) 구하시오.

적분함수를 시컨트로 나타내시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}} d a}}} = {\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(a \right)} d a}}}$$

시컨트 두 개를 떼어 내고, $$$\alpha=a$$$에 대해 $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 탄젠트로 표현하세요.:

$${\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(a \right)} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(a \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(a \right)} d a}}}$$

$$$u=\tan{\left(a \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(a \right)}\right)^{\prime }da = \sec^{2}{\left(a \right)} da$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(a \right)} da = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(a \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(a \right)} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{u^{2} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$u + {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u + {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u + {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(a \right)}$$$을 기억하라:

$${\color{red}{u}} + \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\tan{\left(a \right)}}} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(a \right)}}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}} d a} = \frac{\tan^{3}{\left(a \right)}}{3} + \tan{\left(a \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}} d a} = \frac{\tan^{3}{\left(a \right)}}{3} + \tan{\left(a \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos^{4}{\left(a \right)}}\, da = \left(\frac{\tan^{3}{\left(a \right)}}{3} + \tan{\left(a \right)}\right) + C$$$A