$$$- \frac{x}{2} - 3 \ln\left(- x\right)$$$의 적분

$$$\int \left(- \frac{x}{2} - 3 \ln\left(- x\right)\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{x}{2} - 3 \ln{\left(- x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{x}{2} d x} - \int{3 \ln{\left(- x \right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(- x \right)}$$$에 적용하세요:

$$- \int{\frac{x}{2} d x} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(- x \right)} d x}}} = - \int{\frac{x}{2} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(- x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(- x \right)} d x}}} = - \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$- \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = - \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$- \int{\frac{x}{2} d x} + 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- \int{\frac{x}{2} d x} + 3 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- \int{\frac{x}{2} d x} + 3 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$3 u \ln{\left(u \right)} - \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 3 u \ln{\left(u \right)} - \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$- \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{u}} + 3 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \int{\frac{x}{2} d x} - 3 {\color{red}{\left(- x\right)}} + 3 {\color{red}{\left(- x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용하세요:

$$- 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x - {\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}} = - 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x - {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x - \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{2}=- 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=- 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

따라서,

$$\int{\left(- \frac{x}{2} - 3 \ln{\left(- x \right)}\right)d x} = - \frac{x^{2}}{4} - 3 x \ln{\left(- x \right)} + 3 x$$

간단히 하시오:

$$\int{\left(- \frac{x}{2} - 3 \ln{\left(- x \right)}\right)d x} = \frac{x \left(- x - 12 \ln{\left(- x \right)} + 12\right)}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(- \frac{x}{2} - 3 \ln{\left(- x \right)}\right)d x} = \frac{x \left(- x - 12 \ln{\left(- x \right)} + 12\right)}{4}+C$$

$$$\int \left(- \frac{x}{2} - 3 \ln\left(- x\right)\right)\, dx = \frac{x \left(- x - 12 \ln\left(- x\right) + 12\right)}{4} + C$$$A