$$$5^{- x} x$$$의 적분

$$$\int 5^{- x} x\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{5^{- x} x d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=5^{- x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{5^{- x} d x}=- \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{5^{- x} x d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}}\right)-\int{\left(- \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\left(- \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}}\right)d x} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{1}{\ln{\left(5 \right)}}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = 5^{- x}$$$에 적용하세요:

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}}\right)d x}}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} = - {\color{red}{\left(- \frac{\int{5^{- x} d x}}{\ln{\left(5 \right)}}\right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{5^{- x} d x}}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = 5^{u}$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 5^{u}\right)d u}}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{5^{u} d u}\right)}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=5$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{5^{u} d u}}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} = - \frac{{\color{red}{\frac{5^{u}}{\ln{\left(5 \right)}}}}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$- \frac{5^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(5 \right)}^{2}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} = - \frac{5^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(5 \right)}^{2}} - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}}$$

따라서,

$$\int{5^{- x} x d x} = - \frac{5^{- x} x}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{5^{- x}}{\ln{\left(5 \right)}^{2}}$$

간단히 하시오:

$$\int{5^{- x} x d x} = \frac{5^{- x} \left(- x \ln{\left(5 \right)} - 1\right)}{\ln{\left(5 \right)}^{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{5^{- x} x d x} = \frac{5^{- x} \left(- x \ln{\left(5 \right)} - 1\right)}{\ln{\left(5 \right)}^{2}}+C$$

$$$\int 5^{- x} x\, dx = \frac{5^{- x} \left(- x \ln\left(5\right) - 1\right)}{\ln^{2}\left(5\right)} + C$$$A