$$$\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}$$$의 적분

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}} d x}=\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}$$$.

$$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\prime }dx = \frac{3 \sqrt{x}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sqrt{x} dx = \frac{2 du}{3}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{2}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}{3}\right)}}$$

$$$u=2 \sin{\left(v \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(2 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 2 \cos{\left(v \right)} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( v \right)}}$$$

따라서,

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{v}}}{3}$$

다음 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{2 {\color{red}{v}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}}}}{3}$$

다음 $$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$을 기억하라:

$$\frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{x^{\frac{3}{2}}}}}{2} \right)}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3} + C$$$A