$$$\sin^{5}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

사인 하나를 분리해 내고 나머지는 코사인으로 표현하되, $$$\alpha=x$$$를 사용한 $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ 공식을 이용하라.:

$${\color{red}{\int{\sin^{5}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \left(1 - u^{2}\right)^{2}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \left(1 - u^{2}\right)^{2}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \left(1 - u^{2}\right)^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\left(1 - u^{2}\right)^{2} d u}\right)}}$$

Expand the expression:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)^{2} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(u^{4} - 2 u^{2} + 1\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(u^{4} - 2 u^{2} + 1\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{2 u^{2} d u} + \int{u^{4} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{2 u^{2} d u} - \int{u^{4} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{2 u^{2} d u} - \int{u^{4} d u} - {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=4$$$에 적용합니다:

$$- u + \int{2 u^{2} d u} - {\color{red}{\int{u^{4} d u}}}=- u + \int{2 u^{2} d u} - {\color{red}{\frac{u^{1 + 4}}{1 + 4}}}=- u + \int{2 u^{2} d u} - {\color{red}{\left(\frac{u^{5}}{5}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{u^{5}}{5} - u + {\color{red}{\int{2 u^{2} d u}}} = - \frac{u^{5}}{5} - u + {\color{red}{\left(2 \int{u^{2} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$- \frac{u^{5}}{5} - u + 2 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- \frac{u^{5}}{5} - u + 2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \frac{u^{5}}{5} - u + 2 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{u}} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{3}}{3} - \frac{{\color{red}{u}}^{5}}{5} = - {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}} + \frac{2 {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{3}}{3} - \frac{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{5}}{5}$$

따라서,

$$\int{\sin^{5}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{5}{\left(x \right)} d x} = - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx = \left(- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A