$$$r$$$에 대한 $$$\frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)}\, dr$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(r \right)}\, dr = c \int f{\left(r \right)}\, dr$$$을 $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$와 $$$f{\left(r \right)} = \frac{r}{- a + r}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)} d r}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{r}{- a + r} d r}}{2}\right)}}$$

분수식을 다시 쓰고 분리하세요:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{r}{- a + r} d r}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\left(\frac{a}{- a + r} + 1\right)d r}}}}{2}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\left(\frac{a}{- a + r} + 1\right)d r}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\int{1 d r} + \int{\frac{a}{- a + r} d r}\right)}}}{2}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dr = c r$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{\sqrt{2} \left(\int{\frac{a}{- a + r} d r} + {\color{red}{\int{1 d r}}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(\int{\frac{a}{- a + r} d r} + {\color{red}{r}}\right)}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(r \right)}\, dr = c \int f{\left(r \right)}\, dr$$$을 $$$c=a$$$와 $$$f{\left(r \right)} = \frac{1}{- a + r}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\sqrt{2} \left(r + {\color{red}{\int{\frac{a}{- a + r} d r}}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(r + {\color{red}{a \int{\frac{1}{- a + r} d r}}}\right)}{2}$$

$$$u=- a + r$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- a + r\right)^{\prime }dr = 1 dr$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dr = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{\sqrt{2} \left(a {\color{red}{\int{\frac{1}{- a + r} d r}}} + r\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(a {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} + r\right)}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \left(a {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} + r\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(a {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}} + r\right)}{2}$$

다음 $$$u=- a + r$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{2} \left(a \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + r\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(a \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + r\right)}}}\right| \right)} + r\right)}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)} d r} = \frac{\sqrt{2} \left(a \ln{\left(\left|{a - r}\right| \right)} + r\right)}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)} d r} = \frac{\sqrt{2} \left(a \ln{\left(\left|{a - r}\right| \right)} + r\right)}{2}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{2} r}{2 \left(- a + r\right)}\, dr = \frac{\sqrt{2} \left(a \ln\left(\left|{a - r}\right|\right) + r\right)}{2} + C$$$A