$$$\frac{1}{x^{2} - 78 x}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 78 x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 78 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} - \frac{1}{78 x}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} - \frac{1}{78 x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{78 x} d x} + \int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{78}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{78 x} d x}}} = \int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x} d x}}{78}\right)}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$\int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}}}{78} = \int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}}{78}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{78}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 78}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + {\color{red}{\int{\frac{1}{78 \left(x - 78\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 78} d x}}{78}\right)}}$$

$$$u=x - 78$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x - 78\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 78} d x}}}}{78} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{78}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{78} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{78}$$

다음 $$$u=x - 78$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{78} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 78\right)}}}\right| \right)}}{78}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 78 x} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{78} + \frac{\ln{\left(\left|{x - 78}\right| \right)}}{78}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 78 x} d x} = \frac{- \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 78}\right| \right)}}{78}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 78 x} d x} = \frac{- \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 78}\right| \right)}}{78}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 78 x}\, dx = \frac{- \ln\left(\left|{x}\right|\right) + \ln\left(\left|{x - 78}\right|\right)}{78} + C$$$A