$$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$를 곱하고 $$$\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$$를 $$$\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$$로 변환합니다:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

코사인 두 개를 소거하고 공식 $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}=\sec^{2}{\left(x \right)}$$$를 사용하여 시컨트로 표현하시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$\cos^{2}{\left(x \right)}=\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}$$$ 공식을 사용하여 코사인을 탄젠트의 함수로 나타내시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{2} + 1}{u^{2}} d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{2} + 1}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{1}{u^{2}} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\frac{1}{u^{2}} d u} + {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$u + {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=u + {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=u + {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=u + {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=u + {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{u}}^{-1} + {\color{red}{u}} = - {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{-1} + {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = \tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = \tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right) + C$$$A