$$$\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{6}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}} d x}}{6}\right)}}$$

$$$u=\sqrt[3]{x} - 4$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{\prime }dx = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}} = 3 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}} d x}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{3 u^{5} d u}}}}{6}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{3 u^{5} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(3 \int{u^{5} d u}\right)}}}{6}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=5$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{5} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=\sqrt[3]{x} - 4$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{12} = \frac{{\color{red}{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)}}^{6}}{12}$$

따라서,

$$\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12}+C$$

$$$\int \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}\, dx = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12} + C$$$A