$$$\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{x} - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{x} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u^{2} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 u^{2} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u^{2} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$2 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$u=\sqrt{x} - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\left(\sqrt{x} - 1\right)}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3} + C$$$A