$$$\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{1}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{u \cos{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\kappa}=u$$$와 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(u \right)} du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(u \right)} d u}=\sin{\left(u \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- {\color{red}{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \sin{\left(u \right)}-\int{\sin{\left(u \right)} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \sin{\left(u \right)} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$- u \sin{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - u \sin{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

다음 $$$u=\frac{1}{x}$$$을 기억하라:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} - {\color{red}{u}} \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} \sin{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\, dx = \left(- \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) + C$$$A