$$$\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{1 - x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{2}}{1 - u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u^{2}}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$2 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - u^{2}}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{1 d u} + \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$2 \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u} - 2 {\color{red}{u}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$- 2 u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u}}} = - 2 u + 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- 2 u + 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\right)d u}}} = - 2 u + 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 1}$$$에 적용하세요:

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}{2}\right)}}$$

$$$v=u + 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=u + 1$$$을 기억하라:

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} = - 2 u + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u - 1}$$$에 적용하세요:

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}{2}\right)}}$$

$$$v=u - 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=u - 1$$$을 기억하라:

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)}$$

다음 $$$u=\sqrt{x}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} - 2 {\color{red}{u}} = - \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\sqrt{x}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x} = - 2 \sqrt{x} - \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x} = - 2 \sqrt{x} - \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{1 - x}\, dx = \left(- 2 \sqrt{x} - \ln\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right|\right)\right) + C$$$A