$$$y$$$에 대한 $$$\sqrt{- x y + y}$$$의 적분

$$$\int \sqrt{- x y + y}\, dy$$$을(를) 구하시오.

$$$u=- x y + y$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x y + y\right)^{\prime }dy = \left(1 - x\right) dy$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dy = \frac{du}{1 - x}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\sqrt{- x y + y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{1 - x} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{1 - x}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{1 - x} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sqrt{u} d u}}{1 - x}}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=\frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{1 - x}=\frac{{\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{1 - x}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{1 - x}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{1 - x}$$

다음 $$$u=- x y + y$$$을 기억하라:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3 \left(1 - x\right)} = \frac{2 {\color{red}{\left(- x y + y\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3 \left(1 - x\right)}$$

따라서,

$$\int{\sqrt{- x y + y} d y} = \frac{2 \left(- x y + y\right)^{\frac{3}{2}}}{3 \left(1 - x\right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\sqrt{- x y + y} d y} = \frac{2 y \sqrt{y \left(1 - x\right)}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sqrt{- x y + y} d y} = \frac{2 y \sqrt{y \left(1 - x\right)}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{- x y + y}\, dy = \frac{2 y \sqrt{y \left(1 - x\right)}}{3} + C$$$A