$$$\frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=1 - x^{4}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(1 - x^{4}\right)^{\prime }dx = - 4 x^{3} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x^{3} dx = - \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 u^{2}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{4}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{4}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{4}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{4}=- \frac{{\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{4}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{4}$$

다음 $$$u=1 - x^{4}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{-1}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(1 - x^{4}\right)}}^{-1}}{4}$$

따라서,

$$\int{\frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}} d x} = \frac{1}{4 \left(1 - x^{4}\right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{4 x^{4} - 4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}} d x} = - \frac{1}{4 x^{4} - 4}+C$$

$$$\int \frac{x^{3}}{\left(1 - x^{4}\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4} - 4} + C$$$A