$$$\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$$의 적분

$$$\int \left(x^{2} + 1\right)^{2}\, dx$$$을(를) 구하시오.

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} + 1\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{2 x^{2} d x} + \int{x^{4} d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{2 x^{2} d x} + \int{x^{4} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{2 x^{2} d x} + \int{x^{4} d x} + {\color{red}{x}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=4$$$에 적용합니다:

$$x + \int{2 x^{2} d x} + {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=x + \int{2 x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=x + \int{2 x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{5}}{5} + x + {\color{red}{\int{2 x^{2} d x}}} = \frac{x^{5}}{5} + x + {\color{red}{\left(2 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{5}}{5} + x + 2 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x^{5}}{5} + x + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x^{5}}{5} + x + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

따라서,

$$\int{\left(x^{2} + 1\right)^{2} d x} = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(x^{2} + 1\right)^{2} d x} = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x+C$$

$$$\int \left(x^{2} + 1\right)^{2}\, dx = \left(\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x\right) + C$$$A