$$$u$$$에 대한 $$$\left(u + v\right)^{c - 1}$$$의 적분

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du$$$을(를) 구하시오.

$$$w=u + v$$$라 하자.

그러면 $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dw$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}$$

멱법칙($$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=c - 1$$$에 적용합니다:

$${\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}={\color{red}{\frac{w^{\left(c - 1\right) + 1}}{\left(c - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{w^{c}}{c}}}$$

다음 $$$w=u + v$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{w}}^{c}}{c} = \frac{{\color{red}{\left(u + v\right)}}^{c}}{c}$$

따라서,

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}+C$$

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c} + C$$$A