$$$\frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{1}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}^{3}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}^{3}\right)^{\prime }du=\frac{3 \ln{\left(u \right)}^{2}}{u} du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)}^{3} \cdot u-\int{u \cdot \frac{3 \ln{\left(u \right)}^{2}}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(u \right)}^{2} d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}^{2}$$$에 적용하세요:

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(u \right)}^{2} d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}^{2}\right)^{\prime }du=\frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)}^{2} \cdot u-\int{u \cdot \frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} d u}\right)}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 u \ln{\left(u \right)} - 6 {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 u \ln{\left(u \right)} - 6 {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=\frac{1}{x}$$$을 기억하라:

$$- 6 {\color{red}{u}} + 6 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} - 3 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}^{2} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}^{3} = - 6 {\color{red}{\frac{1}{x}}} + 6 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)} - 3 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}^{2} + {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}^{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{\ln{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \ln{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}{x} + \frac{6 \ln{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{6}{x}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{- \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} - 6}{x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{- \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} - 6}{x}+C$$

$$$\int \frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}\, dx = \frac{- \ln^{3}\left(x\right) - 3 \ln^{2}\left(x\right) - 6 \ln\left(x\right) - 6}{x} + C$$$A