$$$\ln^{3}\left(x\right)$$$의 적분

$$$\int \ln^{3}\left(x\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{3}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{3}\right)^{\prime }dx=\frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{3} \cdot x-\int{x \cdot \frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$에 적용하세요:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 {\color{red}{\int{1 d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 {\color{red}{x}}$$

따라서,

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 x$$

간단히 하시오:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)+C$$

$$$\int \ln^{3}\left(x\right)\, dx = x \left(\ln^{3}\left(x\right) - 3 \ln^{2}\left(x\right) + 6 \ln\left(x\right) - 6\right) + C$$$A