$$$- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}$$$의 적분

$$$\int \left(- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x d x} + \int{\left(e^{x} - 1\right) e^{- x} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$\int{\left(e^{x} - 1\right) e^{- x} d x} - {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{\left(e^{x} - 1\right) e^{- x} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{\left(e^{x} - 1\right) e^{- x} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Expand the expression:

$$- \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\left(e^{x} - 1\right) e^{- x} d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\left(1 - e^{- x}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\left(1 - e^{- x}\right)d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{x^{2}}{2} - \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} - \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{x}}$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - \frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$- \frac{x^{2}}{2} + x + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - \frac{x^{2}}{2} + x + {\color{red}{e^{u}}}$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$- \frac{x^{2}}{2} + x + e^{{\color{red}{u}}} = - \frac{x^{2}}{2} + x + e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

따라서,

$$\int{\left(- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}\right)d x} = - \frac{x^{2}}{2} + x + e^{- x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}\right)d x} = - \frac{x^{2}}{2} + x + e^{- x}+C$$

$$$\int \left(- x + \left(e^{x} - 1\right) e^{- x}\right)\, dx = \left(- \frac{x^{2}}{2} + x + e^{- x}\right) + C$$$A