$$$- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7$$$의 적분

$$$\int \left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{7 d x} - \int{x d x} - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=7$$$에 적용하십시오:

$$- \int{x d x} - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x} + {\color{red}{\int{7 d x}}} = - \int{x d x} - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x} + {\color{red}{\left(7 x\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$7 x - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x} - {\color{red}{\int{x d x}}}=7 x - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=7 x - \int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

$$$u=5 - x^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(5 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{x^{2}}{2} + 7 x - {\color{red}{\int{3 x \sqrt{5 - x^{2}} d x}}} = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x - {\color{red}{\int{\left(- \frac{3 \sqrt{u}}{2}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{3}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{2}}{2} + 7 x - {\color{red}{\int{\left(- \frac{3 \sqrt{u}}{2}\right)d u}}} = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x - {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{\sqrt{u} d u}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=\frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \frac{3 {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{2}=- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \frac{3 {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{2}=- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \frac{3 {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{2}=- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=5 - x^{2}$$$을 기억하라:

$$- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}} = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x + {\color{red}{\left(5 - x^{2}\right)}}^{\frac{3}{2}}$$

따라서,

$$\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7\right)d x} = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7\right)d x} = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+C$$

$$$\int \left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}} - x + 7\right)\, dx = \left(- \frac{x^{2}}{2} + 7 x + \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) + C$$$A