$$$\frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=5 - 8 x^{4}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(5 - 8 x^{4}\right)^{\prime }dx = - 32 x^{3} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x^{3} dx = - \frac{du}{32}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{16 \sqrt{u}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{16}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{16 \sqrt{u}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{16}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{16}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{16}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{16}=- \frac{{\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{16}=- \frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{16}$$

다음 $$$u=5 - 8 x^{4}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\sqrt{{\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{\sqrt{{\color{red}{\left(5 - 8 x^{4}\right)}}}}{8}$$

따라서,

$$\int{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}} d x} = - \frac{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}{8}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}} d x} = - \frac{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}{8}+C$$

$$$\int \frac{2 x^{3}}{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}\, dx = - \frac{\sqrt{5 - 8 x^{4}}}{8} + C$$$A