$$$2 x^{3} \left(3 x - 2\right)$$$의 적분

$$$\int 2 x^{3} \left(3 x - 2\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{2 x^{3} \left(3 x - 2\right) d x}=\int{x^{3} \left(6 x - 4\right) d x}$$$.

피적분함수를 단순화하세요.:

$${\color{red}{\int{x^{3} \left(6 x - 4\right) d x}}} = {\color{red}{\int{2 x^{3} \left(3 x - 2\right) d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \left(3 x - 2\right)$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 x^{3} \left(3 x - 2\right) d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{3} \left(3 x - 2\right) d x}\right)}}$$

Expand the expression:

$$2 {\color{red}{\int{x^{3} \left(3 x - 2\right) d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(3 x^{4} - 2 x^{3}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(3 x^{4} - 2 x^{3}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{2 x^{3} d x} + \int{3 x^{4} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$에 적용하세요:

$$2 \int{3 x^{4} d x} - 2 {\color{red}{\int{2 x^{3} d x}}} = 2 \int{3 x^{4} d x} - 2 {\color{red}{\left(2 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=3$$$에 적용합니다:

$$2 \int{3 x^{4} d x} - 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=2 \int{3 x^{4} d x} - 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=2 \int{3 x^{4} d x} - 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$에 적용하세요:

$$- x^{4} + 2 {\color{red}{\int{3 x^{4} d x}}} = - x^{4} + 2 {\color{red}{\left(3 \int{x^{4} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=4$$$에 적용합니다:

$$- x^{4} + 6 {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=- x^{4} + 6 {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=- x^{4} + 6 {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$

따라서,

$$\int{x^{3} \left(6 x - 4\right) d x} = \frac{6 x^{5}}{5} - x^{4}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{3} \left(6 x - 4\right) d x} = \frac{x^{4} \left(6 x - 5\right)}{5}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{3} \left(6 x - 4\right) d x} = \frac{x^{4} \left(6 x - 5\right)}{5}+C$$

$$$\int 2 x^{3} \left(3 x - 2\right)\, dx = \frac{x^{4} \left(6 x - 5\right)}{5} + C$$$A