$$$\frac{2 x^{3} - 2}{x - 2}$$$의 적분

$$$\int \frac{2 x^{3} - 2}{x - 2}\, dx$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 단순화하세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{2 x^{3} - 2}{x - 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{x - 2} d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 1}{x - 2}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{x - 2} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{x^{3} - 1}{x - 2} d x}\right)}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$2 {\color{red}{\int{\frac{x^{3} - 1}{x - 2} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(x^{2} + 2 x + 4 + \frac{7}{x - 2}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(x^{2} + 2 x + 4 + \frac{7}{x - 2}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{4 d x} + \int{2 x d x} + \int{x^{2} d x} + \int{\frac{7}{x - 2} d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=4$$$에 적용하십시오:

$$2 \int{2 x d x} + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\int{4 d x}}} = 2 \int{2 x d x} + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\left(4 x\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$8 x + 2 \int{2 x d x} + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=8 x + 2 \int{2 x d x} + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=8 x + 2 \int{2 x d x} + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용하세요:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\int{2 x d x}}} = \frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 2 {\color{red}{\left(2 \int{x d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 4 {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 \int{\frac{7}{x - 2} d x} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=7$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 2}$$$에 적용하세요:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 2 {\color{red}{\int{\frac{7}{x - 2} d x}}} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 2 {\color{red}{\left(7 \int{\frac{1}{x - 2} d x}\right)}}$$

$$$u=x - 2$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=x - 2$$$을 기억하라:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{2 x^{3} - 2}{x - 2} d x} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{2 x^{3} - 2}{x - 2} d x} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 x^{3} - 2}{x - 2}\, dx = \left(\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 14 \ln\left(\left|{x - 2}\right|\right)\right) + C$$$A