$$$\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 사인을 한 번씩 곱하고, $$$\alpha=x$$$에 대해 $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 코사인으로 나타내세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2} \left(1 - u^{2}\right)}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} \left(1 - u^{2}\right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2} \left(1 - u^{2}\right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u^{2} \left(1 - u^{2}\right)} d u}\right)}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} \left(1 - u^{2}\right)} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)} + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)} + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{u^{2}} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u} - {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u} - {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u} - {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u} - {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 1}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}}} + \frac{1}{u} = \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}{2}\right)}} + \frac{1}{u}$$

$$$v=u + 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}}}{2} + \frac{1}{u} = \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} + \frac{1}{u}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} + \frac{1}{u} = \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2} + \frac{1}{u}$$

다음 $$$v=u + 1$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} + \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + \frac{1}{u} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} + \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + \frac{1}{u}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u - 1}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u}}} + \frac{1}{u} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}{2}\right)}} + \frac{1}{u}$$

$$$v=u - 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}}}{2} + \frac{1}{u} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} + \frac{1}{u}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} + \frac{1}{u} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2} + \frac{1}{u}$$

다음 $$$v=u - 1$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} + \frac{1}{u} = - \frac{\ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)}}{2} + \frac{1}{u}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{u}}^{-1} = \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{-1}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)} + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)} + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)} - 1}\right|\right)}{2} - \frac{\ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)} + 1}\right|\right)}{2} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right) + C$$$A