$$$\frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$의 적분

$$$\int \frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x} = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}}$$

탄젠트를 $$$\tan\left( u \right)=\frac{\sin\left( u \right)}{\cos\left( u \right)}$$$ 형태로 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

$$$v=\cos{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\cos{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \sin{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(u \right)} du = - dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

다음 $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{\ln{\left(x \right)}}} \right)}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}\, dx = - \ln\left(\left|{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}\right|\right) + C$$$A