$$$\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt[4]{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt[4]{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{\frac{3}{4}}} = 4 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4 u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{5}}{u^{3} + 1}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{4 u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{u^{5}}{u^{3} + 1} d u}\right)}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$4 {\color{red}{\int{\frac{u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}} = 4 {\color{red}{\int{\left(u^{2} - \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$4 {\color{red}{\int{\left(u^{2} - \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\right)d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\int{u^{2} d u} - \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

$$$v=u^{3} + 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u^{3} + 1\right)^{\prime }du = 3 u^{2} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$u^{2} du = \frac{dv}{3}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u}}} = \frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$에 적용하세요:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}} = \frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{3} = \frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{3}$$

다음 $$$v=u^{3} + 1$$$을 기억하라:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{3} = \frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{3} + 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

다음 $$$u=\sqrt[4]{x}$$$을 기억하라:

$$- \frac{4 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}^{3}}\right| \right)}}{3} + \frac{4 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = - \frac{4 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\sqrt[4]{x}}}^{3}}\right| \right)}}{3} + \frac{4 {\color{red}{\sqrt[4]{x}}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x} = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right| \right)}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x} = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}\, dx = \left(\frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right|\right)}{3}\right) + C$$$A