$$$\frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자를 $$$x + 1=\frac{2 x - 1}{2} + \frac{3}{2}$$$로 나타내고 분수를 분리하세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} + \frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} + \frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \int{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{2 x - 1}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} d x}}} = \int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{2 x - 1} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=2 x - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\sqrt{2 x - 1} d x}}}}{2} = \int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{2} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$에 적용하세요:

$$\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{2} d u}}}}{2} = \int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=\frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{4}=\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{4}=\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{4}=\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{4}$$

다음 $$$u=2 x - 1$$$을 기억하라:

$$\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{6} = \int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x} + \frac{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}^{\frac{3}{2}}}{6}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{3}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + {\color{red}{\int{\frac{3}{2 \sqrt{2 x - 1}} d x}}} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=2 x - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x}}}}{2} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{u}} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{u}} d u}}}}{2} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{4}=\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{4}=\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{4}=\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{4}=\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{4}$$

다음 $$$u=2 x - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 \sqrt{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 \sqrt{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 \sqrt{2 x - 1}}{2}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}} d x} = \frac{\left(x + 4\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}} d x} = \frac{\left(x + 4\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}+C$$

$$$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx = \frac{\left(x + 4\right) \sqrt{2 x - 1}}{3} + C$$$A