$$$\csc^{3}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \csc^{3}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\csc{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=\csc^{2}{\left(x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\csc{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\csc^{2}{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}=\csc{\left(x \right)} \cdot \left(- \cot{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cot{\left(x \right)}\right) \cdot \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right) d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} d x}$$

다음 공식을 적용하십시오: $$$\cot^{2}{\left(x \right)} = \csc^{2}{\left(x \right)} - 1$$$

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \csc{\left(x \right)} d x}$$

전개:

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \csc{\left(x \right)} d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{3}{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)}\right)d x}$$

차의 적분은 적분의 차와 같다:

$$- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \int{\left(\csc^{3}{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)}\right)d x}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \int{\csc{\left(x \right)} d x} - \int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}$$

따라서 적분에 관한 다음과 같은 간단한 선형 방정식을 얻습니다:

$${\color{red}{\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}}}=- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \int{\csc{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}}}$$

이를 풀면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x}=- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}{2}$$

코시컨트를 $$$\csc\left(x\right)=\frac{1}{\sin\left(x\right)}$$$로 다시 쓰십시오:

$$- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}}}{2}$$

이중각 공식 $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$를 사용하여 사인을 다시 쓰십시오:

$$- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}}{2}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$를 곱합니다.:

$$- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}}{2}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{2} - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\csc^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \csc^{3}{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right)}{2} - \frac{\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A