行列指数関数計算機
行列指数関数を段階的に求める
入力内容
$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}$$$ を求めよ。
解答
まず、行列を対角化します（手順は 行列の対角化計算機 を参照）。
$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$
$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$
$$$P$$$ の逆行列を求めよ: $$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$（手順は matrix inverse calculator を参照）。
ここで、$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$。
対角行列の指数（行列指数）は、各対角要素に指数関数を適用した行列である：$$$e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]$$$。
したがって、$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$。
最後に、行列を掛け合わせます:
$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]$$$（手順については、行列積計算機を参照してください）。
$$$\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]$$$（手順については、行列積計算機を参照してください）。
解答
$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]$$$A