$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$ の逆関数

ガウス・ジョルダン消去法を用いて$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$を計算してください。

逆行列を求めるには、行列に単位行列を付加して拡大行列を作り、左側が単位行列になるように行基本変形を行います。すると、右側が逆行列になります。

したがって、行列を単位行列で拡大する：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$1$$$行を$$$5$$$で割る: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行から第$$$1$$$行を引く: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行を$$$\frac{5}{3}$$$倍する: $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

$$$1$$$行から$$$2$$$行の$$$\frac{2}{5}$$$倍を引く: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

これで完了です。左側が単位行列です。右側が逆行列です。

逆行列は$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$Aです。