$$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$ を対角化せよ

$$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$ を対角化せよ。

まず、固有値と固有ベクトルを求めます（手順は eigenvalues and eigenvectors calculator を参照してください）。

固有値：$$$1$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$。

固有値：$$$-2$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$。

列$$$i$$$が$$$i$$$番目の固有ベクトルとなるような行列$$$P$$$を構成する: $$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

対角行列 $$$D$$$ を作り、$$$i$$$ 行 $$$i$$$ 列の要素を $$$i$$$ 番目の固有値とする：$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$

行列 $$$P$$$ と $$$D$$$ は、元の行列が $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$ となるように取られている。

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (手順については、逆行列計算機を参照してください).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A