行列の対角化計算機
行列を段階的に対角化
この計算機は（可能であれば）与えられた行列を対角化し、手順を表示します。
入力内容
$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ を対角化せよ。
解答
まず、固有値と固有ベクトルを求めます（手順は eigenvalues and eigenvectors calculator を参照してください）。
固有値：$$$6$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$。
固有値：$$$3$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$。
固有値：$$$-2$$$、固有ベクトル：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$。
列$$$i$$$が$$$i$$$番目の固有ベクトルとなるような行列$$$P$$$を構成する: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$
対角行列 $$$D$$$ を作り、$$$i$$$ 行 $$$i$$$ 列の要素を $$$i$$$ 番目の固有値とする：$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$
行列 $$$P$$$ と $$$D$$$ は、元の行列が $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$ となるように取られている。
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (手順については、逆行列計算機を参照してください).
解答
$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A