$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ の逆関数

ガウス・ジョルダン消去法を用いて$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$を計算してください。

逆行列を求めるには、行列に単位行列を付加して拡大行列を作り、左側が単位行列になるように行基本変形を行います。すると、右側が逆行列になります。

したがって、行列を単位行列で拡大する：

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

$$$2$$$行から$$$1$$$行の$$$2$$$倍を引く: $$$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$$$

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$3$$$行から第$$$1$$$行を引く: $$$R_{3} = R_{3} - R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行を$$$-3$$$で割る: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{3}$$$。

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$1$$$行から第$$$2$$$行を引く: $$$R_{1} = R_{1} - R_{2}$$$。

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$3$$$行を$$$2$$$で割る: $$$R_{3} = \frac{R_{3}}{2}$$$。

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

行$$$1$$$に行$$$3$$$の$$$\frac{1}{3}$$$倍を加える: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

行$$$2$$$に行$$$3$$$の$$$\frac{2}{3}$$$倍を加える: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{2 R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

これで完了です。左側が単位行列です。右側が逆行列です。

逆行列は$$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$Aです。