$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36 = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = 6$$$, $$$\lambda_{2} = 3$$$, $$$\lambda_{3} = -2$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

• $$$\lambda = 6$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 3\\1 & -1 & 1\\3 & 1 & -5\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = 3$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 3\\1 & 2 & 1\\3 & 1 & -2\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 3\\1 & 7 & 1\\3 & 1 & 3\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

固有値: $$$6$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$3$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$-2$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A。