基底計算機

ベクトルの集合 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}9\\12\\5\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}5\\7\\4\end{array}\right]\right\}$$$ が張る空間の基底を求めよ。

基底とは、与えられたベクトル空間を張る一次独立なベクトルの集合である。

基底を求める方法はいくつもあります。その一つは、与えられたベクトルを行とする行列の行空間を求めることです。

したがって、基底は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\- \frac{13}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\1\\\frac{11}{3}\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順は 行空間計算機 を参照）。

基底を求める別の方法は、与えられたベクトルを列に持つ行列の列空間を求めることです。

したがって、基底は$$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}9\\12\\5\end{array}\right]\right\}$$$です（手順については 列空間計算機 を参照してください）。

異なる基底が2つ見つかった場合、それらはどちらも正しい解答です。どちらを選んでもよく、例えば最初のものを選んでもかまいません。

基底は$$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\- \frac{13}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\1\\\frac{11}{3}\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\-4.333333333333333\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\1\\3.666666666666667\end{array}\right]\right\}$$$Aです。