関数の台形則計算機
台形公式を用いて（関数で与えられた）積分を手順を追って近似する
入力内容
台形則を用いて、$$$n = 5$$$ により積分 $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ の近似値を求めよ。
解答
台形公式は、台形を用いて面積を近似します：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
ただし $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
$$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 1$$$、および$$$n = 5$$$が成り立つ。
したがって、$$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$。
区間 $$$\left[0, 1\right]$$$ を、長さ $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ の $$$n = 5$$$ 個の部分区間に分割し、端点は次のとおりとする: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$。
あとは、これらの端点で関数を評価するだけです。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
最後に、上記の値を合計し、$$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$ を掛けます: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
解答
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A