関数向けシンプソンの公式計算機
シンプソンの公式を用いて、（関数で与えられた）定積分を手順を追って近似する
入力内容
シンプソンの公式を用いて、分割数 $$$n = 4$$$ で積分 $$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$ を近似せよ。
解答
Simpson's 1/3 rule（放物線公式とも呼ばれる）は、放物線を用いて面積を近似する:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
ただし $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
$$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 1$$$、および$$$n = 4$$$が成り立つ。
したがって、$$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$。
区間 $$$\left[0, 1\right]$$$ を、長さ $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ の $$$n = 4$$$ 個の部分区間に分割し、端点は次のとおりとする: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$。
あとは、これらの端点で関数を評価するだけです。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$
$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$
$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$
最後に、上記の値を合計し、$$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$ を掛けます: $$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$$$
解答
$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A