$$$\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\frac{dx}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}=\tan{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \tan{\left(x \right)}-\int{\tan{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \tan{\left(x \right)} - \int{\tan{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

正接を$$$\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$$に書き換える:

$$x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} d x}}} = x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$ となります。

したがって、

$$x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = x \tan{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x \tan{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x \tan{\left(x \right)} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$:

$$x \tan{\left(x \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = x \tan{\left(x \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = x \tan{\left(x \right)} + \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x} = x \tan{\left(x \right)} + \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(x \tan{\left(x \right)} + \ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|\right)\right) + C$$$A